函数除了有两个重要要素:定义域与解析式以外，还有四个性质，分别是:有界性;单调性;奇偶性;周期性。这四个性质是针对函数的函数值而言的，下面我们就一起来学习一下吧。

01 有界性

L1≤y≤L2(L1,L2是常数)

顾名思义就是函数值在某一个有限的范围内，即L1≤y≤L2，其中L1;L2是常数。

注意：

①L1为下界，L2为上界

②上界与下界同时存在才称之为有界

③要看清楚题目中所给的范围

例如：

(1)y=sin x 在定义域上是有界的。因为其对应的函数值都会满足:-1≤y≤1。

(2)y=ln x在定义域上是无界的。因为其对应的函数值都会满足:y∈R。

但在定义域内的任何一个有限区间。如 (1,5)上，函数则是有界的。因为其对应的函数值都会满足:0＜y＜ln 5。

02 单调性

x1＜x2，f(x1)＜f(x2)

两种情况:单调递增或者单调递减。

若对区间 Ⅰ 内的任意两个变量x1单调递增的;通俗理解自变量增大时，对应的函数值也增大，则函数为增函数。

若对区间 Ⅰ 内的任意两个变量x1f(x2)，则函数在区间 Ⅰ 上是

单调递减的;通俗理解自变量增大时，对应的函数值变小，则函数为减函数。

注意：

①反函数的单调性与原来函数的单调性相同

②复合函数的单调性满足"同为增，异为减"

例如：

已知函数f在 R 上是单调递减的，那么 y=f(x2)在(-∞，0)上是单调递增，在(0， ∞)上是单调递减。

03 奇偶性

f(x)=-f(x);f(x)=f(-x)

前提条件:函数的定义域要关于原点对称，即若x∈D 则-x∈D。

偶函数:若f(x)=f(-x);

等价定义形式:f(x)=f(-x) <=> f(x)-f(-x)=0 <=> f(x)÷f(-x)=1;

奇函数:若f(x)=-f(-x);

等价定义形式:f(x)=-f(-x) <=> f(x) f(-x)=0 <=> f(x)÷f(-x)=-1;

注意：

①判断函数奇偶性只需要找到f(x)与f(-x)之间的关系即可

②奇函数加上偶函数得到的是非奇非偶函数

③反函数的奇偶性与原来函数的奇偶性相同

例如：

函数 y = sin x 是奇函数，

y= cos x 是偶函数，

那么 y = arcsin x 是奇函数;

y= arccos x是偶函数;

y= sin x cos x 非奇非偶函数。

04 周期性

f(x)=f(x L) 周期为L

如果存在一个正数L，可以对函数 f(x) 定义域 D 内的每一个数 x 都有:

则函数f(x)的周期为 L。

注意：

①判断函数周期性只需找到可以满足 f(x) = f(x L) 的正数 L 即可

②所学的各类函数中只有三角函数有周期性

专升本常以选择题的形式考察。

经典演练

例1. 若f(x)=x2e-|sinx|在(-∞， ∞)上是( )

A.单调函数 B.有界函数 C.周期函数 D.偶函数

例2. 函数y=[sin(x 1)]/(x2 1)在其定义域内是( )

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数 D. 有界函数

例3. 函数y=(ex-e-x)/(ex e-x)在其定义域内是( )

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数 D. 有界函数

答案解析

1.D

【解析】因为f(x)=x2e-|sinx|，

f(-x)=(-x)2e-|sin(-x)|=x2e-|sinx|

所以f(x)=f(-x)。选D

2.D

【解析】因为函数的定义域为R，关于原点对称，但y(x)≠y(-x)，同时y(x)≠-y(-x)所以没有奇偶性。若要y(x)=y(x L)只能L=0，与周期性的定义不符。而sin(x 1)在定义域上是有界的，且0<1/(1 x2)≤1，因此y=[sin(x 1)]/(x2 1)在定义域内是有界函数。选D

3.A

【解析】因为函数定义域为 R，关于原点对称，

且由y(x)=(ex-e-x)/(ex e-x)

得y(-x)=(e-x-ex)/(e-x ex)，很明显y(x)=-y(-x)，

所以是奇函数，选A