数学笔记 :圆的标准方程公式和一般方程

圆的标准方程

在平面直角坐标系中，圆心位置和半径大小确定一个圆。直角坐标系中，圆心(点)A的位置用坐标 (a，b) 表示，半径 r 的大小等于圆上任意点 M(x，y) 与圆心 A(a，b) 的距离，圆心为 A 的圆就是集合

P = ｛ M | | MA | = r ｝

由两点的距离公式可得，符合点 M 的条件可以表示为

圆的标准方程

例题 (1)

例题 (2)

例题 (3)

圆的一般方程

x ² + y ² + D x + E y + F = 0 ②

(圆的一般方程)

以上方程配方得

圆的一般方程配方

(Ⅰ) 当 D ² + E ² - 4F＞0 时，方程 ② 表示以( －D/2，－E/2 )为圆心，１/2√(D²+E²-4F)为半径长的圆。

(Ⅱ) 当 D² + E ² - 4F = 0 时，方程 ② 只有实数解 x= - D/2，y= - E/2，它表示一个点 (- D/2， - E/2 )

(Ⅲ) 当 D ² + E ² - 4F＜0 时，方程 ② 没有实数解，它不表示任何图形。

例题 (4)

求圆的方程常用“待定系数法”。

用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

① 根据题意，选择标准方程或一般方程。

② 根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组。

③ 解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程。