指数函数底数为什么要大于0
3357次浏览 发布时间:2022-08-14 10:16:35一、指数函数底数为什么必须大于0
在指数函数y=a^x中
当a=0时,若x>0,则无论x取何值,a^x恒等于0;若x<0,则a^x无意义。<>
当a<0时,如y=(-2)^x,对x取任何值,在实数范围内函数不存在。<>
纵上可知,当a小于等于0时,指数函数没有实在意义,就是没有研究的必要。
在指数函数的定义表达式中,在a^前的系数必须是数1,自变量x必须在指数的位置上,且不能是x的其他表达式,否则,就不是指数函数。
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指数函数性质
(1) 指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为(0, +∞)。
(3) 函数图形都是上凹的。
(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若
,则函数定过点(0,1+b))
(8) 指数函数无界。
(9)指数函数是非奇非偶函数
(10)指数函数具有反函数,其反函数是对数函数,它是一个多值函数。
二、指数函数的底数为什么选大于0且不等于1
当a=1时,y值永远都等于1,研究这样的固定不变量没有价值,因此规定底数不为1。
如果a<0,那么当x是奇数时,y为负数;当x是偶数时,y为正数;当x=1>
综上,为了方便研究,只能强行规定对数的底数大于0且不等于1。
指数函数的一般形式为y=a?(a为常数且以a>0,a≠1)(x∈R),要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。
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指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e?,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2.718281828,还称为欧拉数。
最简单的说,指数函数按恒定速率翻倍,例如细菌培养时细菌总数(近似的)每三个小时翻倍,和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。
特别是复利,事实上就是它导致了雅各布·伯努利在1683年介入了现在叫做e的数。后来约翰·伯努利在1697年研究了指数函数的微积分。
在雅各布·伯努利之前,约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi在6年后,分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数,当时还没出现有理数幂的概念,直到1742年William Jones才发表了现在的幂指数概念。
约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,Henry Briggs建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。
三、为什么指数函数的a要大于0
指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
1、指数函数的值域为大于0的实数集合。
2、函数图形都是下凹的。
3、a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
4、可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
5、函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
6、函数总是通过(0,1)这点。
7、显然指数函数无界。
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函数图像:
由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。