二阶微分方程的通解公式

二阶微分方程的通解公式有以下：

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。

相关信息：

如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。

假如微分方程形式为y''-2*a*y'+a^2*y=0,那么它的特征方程为：

r^2-2*a*r+a^2=0,从而可以解得它的重根为r=a。

按照一般思维，很明显y=e^(ax)将是它的一个根；但对于二阶微分方程而言，因为要积分两次，所以应该有两个常数，解的一般形式应该为y=c1*y1+c2*y2;

现在我们假设一般解形式为y=e^(ax)*u(x) (其中u(x)是一个我们需要解的函数)

首先计算下:

y'=a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)

继续有:

y''=a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

将这个解代入原微分方程有：

a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

-2*a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}

+a^2*e^(ax)*u(x)=0

GO

消元有：

e^(ax)*u''(x)=0

因为e^(ax)不可能为0，所以u''(x)=0，这样u(x)=c1+c2*x

如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。

对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。