写在前面

矛盾是无处不在的，数学正是由化解矛盾而发展起来的，这其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。

危机

数学史上贯穿了矛盾，同时也贯穿着人们对于矛盾的讨论。当一个矛盾激化到可以影响整个数学基础的时候，就会产生数学危机。

而对于这种危机的化解，往往就是数学史上的新发展，可以将原本是数学拓展到更加深层次的领域上去。

毕教主的噩梦

毕达哥拉斯，是人类历史上一位著名的数学家。他建立的必氏学派始终信奉着数是万物的本源，正所谓“万物皆数”。

世间万物都是由数字按照一定比例和结构所构成的，并提出了一切数均可以表示为整数或者整数之比的概念。

毕教主最为辉煌的成就就是证明了勾股定理，但是辉煌的背后也有着他自己的心酸。

因为他在研究三角形的时候发现了三角形的三边比不能表示成整数或者 整数之比。

但是毕教主毕竟是一派之主，自己否定自己的理论未免有些太过于打脸，所以他选择隐瞒，假装什么都不知道。

当然，这件事是瞒不住的。一个叫希帕索斯的人就在当时提出一个问题：“边长为1的正方形，其对角线的长度是多少？”

正是因为这个问题触动了毕氏学派的理论根基，所以希帕索斯被处以抛入大海的刑罚。

在之后便没有人敢于质疑毕教主的理论。两百年后，欧多克索斯在毕教主理论基础上建立了一套比较完善的比例理论，巧妙的避开了无理数的逻辑，并且在相当大程度上保留了毕氏学派的理论，算是缓解了这次数学危机。

但是他仅仅是通过几何的方式避免直接接触无理数，这样只是巧妙避开了人们的质疑，但是并没有真正解决这个危机。

直到19世纪下半叶，实数理论建立后，无理数才被彻底的搞清楚，这样一来无理数的合法地位才在数学大厦中真正建立，这持续了几千年第一次数学危机宣告彻底解决。

来自微积分中的幽灵

17世纪时牛顿与莱布尼茨各种独立创立了以无穷小分析为基础的微积分理论。

所以当时的微积分又叫做无穷小分析。虽然微积分的发明极大推动了数学研究的发展，但是毕竟初期建立的体系总有不完善的地方。

而这次的不完善却是致命的。当时一个叫贝克莱的人提出一个悖论—— 无穷小量到底是不是0

因为在当时的体系中无穷小量即是0，又不是0，那么它到底是什么？

这让微积分的建立者们很是恼火。贝克莱也嘲笑无穷小量为“已死量的幽灵”。

直到19世纪70年代，魏尔斯特拉斯、柯西等人建立实数理论，并在实数理论上建立起极限的基本定理，才缓解了这无穷小的幽灵所引发的危机。

但是故事总是曲折的，魏尔斯特拉斯举出了一个处处不可微但是却连续的函数例子，说明了直观思维和几何作图的不可靠，必须诉诸严格的概念和推理。

这导致了数学家们更加深入的讨论实数论，并导致了集合论的诞生。关于无穷小量，阿拉丁认为它至今都是一个幽灵，因为关于实无限和潜无限在如今的数学体系中相辅相成，平分秋色。

自相矛盾的理发师

集合论的产生可谓是打了很多数学家的脸。因为当康托尔最初创立集合论体系时就遭到了很多数学家的抨击。

但是久而久之，这些数学家们发现从集合论出发可以建立原有的整个数学大厦，这些“厚颜无耻”的数学家们又表示“一切数学成果都可以建立在集合论上。”

但是不久，一个叫罗素的人提出一个悖论，这个悖论可以通过一个故事描述：

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。

那么他是否属于他自己？

这个逻辑上的说法无懈可击，瞬间击垮了人们对于集合论的赞同，德国数学家弗雷格对于这个问题表示：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，在他工作即将结束时，他的基础体系崩溃了！

直到1931年库尔特.哥德尔证明： - 任何一个数学系统，只要他是从有限的公理和基本的概念推导出来的，并且从中可以推导出自然数系统，就可以在其中找到一个命题，对于这个命题，我们既没有办法证明，也没有办法推翻。

这就是哥德尔不完全定理。他的证明结束了关于数学基础的讨论，宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。

阿拉丁有话说

历史上三次数学危机，给人们带来了很大麻烦，也有人因此惨死。危机的产生是因为理论本身有缺陷，但是就是通过解决这种缺陷，人类对于自然的认识才会上升到一个新的高度。

所以说每一次数学危机即是数学发展的产物，也是数学发展的思想源泉。